Евгений Моргунов родился 27 апреля 1927 года в Москве. В годы войны четырнадцатилетним мальчишкой обтачивал болванки для артиллерийских снарядов на заводе "Фрезер". В 1943 году он написал письмо на имя Сталина, в котором просил зачислить его в театральное училище. Ответ пришёл, и Моргунова действительно зачислили в училище при театре им. Таирова, однако Евгений проучился там всего год и перевёлся во ВГИК на актёрский факультет к Сергею Герасимову. В 1948 году окончил ВГИК. В 1948—1951 годах он работал актёром в Театре-студии киноактёра. В 1951—1953 годах — актёр академического Малого театра, затем снова вернулся в Театр киноактёра.
Первая экранная работа - роль предателя Стаховича в фильме "Молодая гвардия" (версия 1948 года, режиссёр Сергей Герасимов) - сразу принесла Моргунову известность. В 1950-е годы актёр снимался преимущественно в фильмах историко-патриотической направленности, ныне малоизвестных. Всенародную популярность Моргунову принесла роль Бывалого в серии кинокомедий Леонида Гайдая 1960-х годов: "Самогонщики", "Пёс Барбос и необычный кросс", "Операция «Ы» и другие приключения Шурика", "Кавказская пленница, или новые приключения Шурика". На волне популярности Моргунов пробует себя в качестве режиссёра — снимает картину "Когда казаки плачут" по рассказу Шолохова (1963).
В 1970—1980-е годы артист редко снимается, в основном в эпизодах, наиболее известный фильм этого периода с его участием — "Покровские ворота". В постсоветские годы Моргунов появляется в большем числе картин, чем за предыдущие двадцать лет, однако главных ролей по-прежнему не получает.
Как сообщает пресс-служба регионального Министерства культуры, областной фильмофонд обладает уникальной коллекцией кинолент с участием Е. Моргунова, в которую входят такие картины, как: "Женя, Женечка и Катюша" (1967), "Хроника пикирующего бомбардировщика" (1967), "Король Лир" (1970), "Плохой хороший человек" (1973), "Звезда пленительного счастья" (1975) и другие.
27 апреля 2012 года заслуженному артисту РСФСР Евгению Моргунову исполнилось бы 85 лет. В Омской области с 23 по 29 апреля в рамках проекта "Мастера российского кино" пройдут показы фильмов с участием этого гениального советского актера.